Quantum mechanics

Algorithm

Linguistics

Exact solutions in general relativity

Inequality

Philosophy

Pure mathematics

Mathematical physics

Omega

Operating system

Curl (programming language)

Computer science

Bounded function

Tensor (intrinsic definition)

Physics

Mathematics

Invariant (physics)

Tensor field

Condensed matter physics

Mathematical analysis

Artificial intelligence

Combinatorics

Crystallography

Chemistry

Programming language

Space (punctuation)

Dislocation

Calculus of Variations and Partial Differential Equations

Let $$\Omega \subset \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math> be an open and bounded set with Lipschitz boundary and outward unit normal $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math> . For $$1&lt;p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math> we establish an improved version of the generalized $$L^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:math> -Korn inequality for incompatible tensor fields P in the new Banach space $$\begin{aligned}&amp;W^{1,\,p,\,r}_0({{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}; \Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3}) \\&amp;\quad = \{ P \in L^p(\Omega ; \mathbb {R}^{3 \times 3}) \mid {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \in L^r(\Omega ; \mathbb {R}^{3 \times 3}),\ {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}(P \times \nu ) = 0 \text { on }\partial \Omega \} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd /><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace /><mml:mtext>on</mml:mtext><mml:mspace /><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\begin{aligned} r \in [1, \infty ), \qquad \frac{1}{r} \le \frac{1}{p} + \frac{1}{3}, \qquad r &gt;1 \quad \text {if }p = \frac{3}{2}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>p</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace /><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace /><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> Specifically, there exists a constant $$c=c(p,\Omega ,r)&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> such that the inequality $$\begin{aligned} \Vert P \Vert _{L^p(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})}\le c\,\left( \Vert {{\,\mathrm{sym}\,}}P \Vert _{L^p(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})} + \Vert {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \Vert _{L^{r}(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})}\right) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mspace /><mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> holds for all tensor fields $$P\in W^{1,\,p, \, r}_0({{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}; \Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . Here, $${{\,\mathrm{dev}\,}}X :=X -\frac{1}{3} {{\,\mathrm{tr}\,}}(X)\,{\mathbb {1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>tr</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace /><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> denotes the deviatoric (trace-free) part of a $$3 \times 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> matrix X and the boundary condition is understood in a suitable weak sense. This estimate also holds true if the boundary condition is only satisfied on a relatively open, non-empty subset $$\Gamma \subset \partial \Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . If no boundary conditions are imposed then the estimate holds after taking the quotient with the finite-dimensional space $$K_{S,dSC}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> which is determined by the conditions $${{\,\mathrm{sym}\,}}P =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $${{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P = 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . In that case one can replace $$\Vert {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \Vert _{L^r(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:math> by $$\Vert {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \Vert _{W^{-1,p}(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:math> . The new $$L^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:math> -estimate implies a classical Korn’s inequality with weak boundary conditions by choosing $$P=\mathrm {D}u$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and a deviatoric-symmetric generalization of Poincaré’s inequality by choosing $$P=A\in {{\,\mathrm{\mathfrak {so}}\,}}(3)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>so</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . The proof relies on a representation of the third derivatives $$\mathrm {D}^3 P$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math> in terms of $$\mathrm {D}^2 {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace /></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math> combined with the Lions lemma and the Nečas estimate. We also discuss applications of the new inequality to the relaxed micromorphic model, to Cosserat models with the weakest form of the curvature energy, to gradient plasticity with plastic spin and to incompatible linear elasticity.

Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy