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Quantum mechanics

Schrödinger equation

Ground state

Nonlinear Schrödinger equation

Sobolev space

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

We study the existence of ground state standing waves, of prescribed mass, for the nonlinear Schrödinger equation with mixed power nonlinearitiesi∂tv+Δv+μv|v|q−2+v|v|2⁎−2=0,(t,x)∈R×RN, where N≥3, v:R×RN→C, μ>0, 2<q<2+4/N and 2⁎=2N/(N−2) is the critical Sobolev exponent. We show that all ground states correspond to local minima of the associated Energy functional. Next, despite the fact that the nonlinearity is Sobolev critical, we show that the set of ground states is orbitally stable. Our results settle a question raised by N. Soave [35]. Nous étudions l'existence d'une onde stationnaire correspondante à un état fondamental de masse prescrite pour une équation de Schrödinger non linéaire de la formei∂tv+Δv+μv|v|q−2+v|v|2⁎−2=0,(t,x)∈R×RN, où N≥3, v:R×RN→C, μ>0, 2<q<2+4/N et 2⁎=2N/(N−2) est l'exposant critique de Sobolev. Nous montrons que tous les états fondamentaux sont des minima locaux de la fonctionnelle d'énergie associée au problème. Ensuite, malgré le fait que la non linéarité soit critique pour l'injection de Sobolev, nous montrons que l'ensemble des états fondamentaux est orbitalement stable. Nos résultats répondent à une question soulevée par N. Soave [35].

Orbital stability of ground states for a Sobolev critical Schrödinger equation